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Propriedades matemáticas das ondas

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Ondas físicas, ou ondas mecânicas, formam-se através da vibração de um meio, seja uma corda, a crosta terrestre ou partículas de gases e fluidos. As ondas têm propriedades matemáticas que podem ser analisadas para entender o movimento da onda. Este artigo apresenta essas propriedades gerais das ondas, em vez de como aplicá-las em situações específicas da física.

Ondas transversais e longitudinais

Existem dois tipos de ondas mecânicas.

A é tal que os deslocamentos do meio são perpendiculares (transversais) à direção de deslocamento da onda ao longo do meio. Vibrar uma corda em movimento periódico, para que as ondas se movam ao longo dela, é uma onda transversal, assim como as ondas no oceano.

UMA onda longitudinal é tal que os deslocamentos do meio estão indo e voltando na mesma direção que a própria onda. As ondas sonoras, onde as partículas de ar são empurradas na direção da viagem, é um exemplo de onda longitudinal.

Embora as ondas discutidas neste artigo se refiram a viagens em um meio, a matemática introduzida aqui pode ser usada para analisar propriedades de ondas não mecânicas. A radiação eletromagnética, por exemplo, é capaz de viajar pelo espaço vazio, mas ainda tem as mesmas propriedades matemáticas que outras ondas. Por exemplo, o efeito Doppler para ondas sonoras é bem conhecido, mas existe um efeito Doppler semelhante para ondas de luz, e elas são baseadas nos mesmos princípios matemáticos.

O que causa as ondas?

  1. As ondas podem ser vistas como um distúrbio no meio em torno de um estado de equilíbrio, que geralmente está em repouso. A energia desse distúrbio é o que causa o movimento das ondas. Uma piscina de água está em equilíbrio quando não há ondas, mas assim que uma pedra é lançada nela, o equilíbrio das partículas é perturbado e o movimento das ondas começa.
  2. A perturbação da onda viaja, ou propogates, com uma velocidade definida, chamada de velocidade da onda (v).
  3. As ondas transportam energia, mas não importa. O meio em si não viaja; as partículas individuais sofrem movimento de vaivém em torno da posição de equilíbrio.

A função Wave

Para descrever matematicamente o movimento das ondas, nos referimos ao conceito de função de onda, que descreve a posição de uma partícula no meio a qualquer momento. A mais básica das funções das ondas é a onda senoidal, ou onda senoidal, que é uma onda periódica (ou seja, uma onda com movimento repetitivo).

É importante notar que a função de onda não representa a onda física, mas é um gráfico do deslocamento sobre a posição de equilíbrio. Pode ser um conceito confuso, mas o útil é que podemos usar uma onda sinusoidal para representar a maioria dos movimentos periódicos, como mover-se em círculo ou balançar um pêndulo, que não necessariamente se parecem com ondas quando você visualiza o real movimento.

Propriedades da função Wave

  • velocidade da onda (v) - a velocidade de propagação da onda
  • amplitude (UMA) - a magnitude máxima do deslocamento em equilíbrio, em unidades SI de metros. Em geral, é a distância do ponto médio de equilíbrio da onda ao seu deslocamento máximo, ou é metade do deslocamento total da onda.
  • período (T) - é o tempo para um ciclo de onda (dois pulsos, ou de crista a crista ou vale a vale), em unidades SI de segundos (embora possa ser referido como "segundos por ciclo").
  • freqüência (f) - o número de ciclos em uma unidade de tempo. A unidade de frequência SI é o hertz (Hz) e
    1 Hz = 1 ciclo / s = 1 s-1
  • frequência angular (ω) - é 2π vezes a frequência, em unidades SI de radianos por segundo.
  • Comprimento de onda (λ) - a distância entre dois pontos nas posições correspondentes em repetições sucessivas na onda, de modo (por exemplo) de uma crista ou vale para o próximo, em unidades SI de metros.
  • número da onda (k) - também chamado de constante de propagação, essa quantidade útil é definida como 2 π dividido pelo comprimento de onda, então as unidades SI são radianos por metro.
  • pulso - meio comprimento de onda, do equilíbrio de volta

Algumas equações úteis na definição das quantidades acima são:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

A posição vertical de um ponto na onda, y, pode ser encontrado em função da posição horizontal, xe a hora, t, quando olhamos para ele. Agradecemos aos matemáticos gentis por fazer esse trabalho por nós e obtemos as seguintes equações úteis para descrever o movimento das ondas:

y(x, t) = UMA pecado ω(t - x/v) = UMA pecado 2π f(t - x/v)

y(x, t) = UMA pecado 2π(t/T - x/v)

y (x, t) = UMA pecado (ω t - kx)

A Equação da Onda

Uma característica final da função de onda é que a aplicação de cálculo para obter a segunda derivada produz a equação de onda, que é um produto intrigante e às vezes útil (que, mais uma vez, agradeceremos e aceitaremos os matemáticos sem provar):

d2y / dx2 = (1 / v2) d2y / dt2

A segunda derivada de y em relação a x é equivalente à segunda derivada de y em relação a t dividido pela velocidade da onda ao quadrado. A utilidade principal desta equação é que sempre que ocorre, sabemos que a função y atua como uma onda com velocidade da onda v e, portanto, a situação pode ser descrita usando a função de onda.


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