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Qual é a assimetria de uma distribuição exponencial?

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Parâmetros comuns para distribuição de probabilidade incluem a média e o desvio padrão. A média fornece uma medida do centro e o desvio padrão informa como está distribuída a distribuição. Além desses parâmetros bem conhecidos, há outros que chamam a atenção para outros recursos além do spread ou do centro. Uma dessas medidas é a de assimetria. A assimetria fornece uma maneira de anexar um valor numérico à assimetria de uma distribuição.

Uma distribuição importante que examinaremos é a distribuição exponencial. Veremos como provar que a assimetria de uma distribuição exponencial é 2.

Função de densidade de probabilidade exponencial

Começamos declarando a função de densidade de probabilidade para uma distribuição exponencial. Cada uma dessas distribuições possui um parâmetro, que está relacionado ao parâmetro do processo Poisson relacionado. Denotamos essa distribuição como Exp (A), onde A é o parâmetro. A função densidade de probabilidade para esta distribuição é:

f(x) = e-x/UMA/ A, onde x é não-negativo.

Aqui e é a constante matemática e isto é aproximadamente 2,718281828. A média e o desvio padrão da distribuição exponencial Exp (A) estão relacionados ao parâmetro A. De fato, a média e o desvio padrão são iguais a A.

Definição de assimetria

A assimetria é definida por uma expressão relacionada ao terceiro momento sobre a média. Esta expressão é o valor esperado:

E (X - μ)33 = (EX3 - 3μ EX2 + 3μ2EX - μ3)/σ3 = (EX3 - 3μ(σ2 - μ3)/σ3.

Substituímos μ e σ por A, e o resultado é que a assimetria é EX3 / UMA3 - 4.

Tudo o que resta é calcular o terceiro momento sobre a origem. Para isso, precisamos integrar o seguinte:

0 x 3 f(x) dx.

Essa integral possui um infinito para um de seus limites. Assim, pode ser avaliado como uma integral imprópria do tipo I. Também devemos determinar qual técnica de integração usar. Como a função a integrar é o produto de uma função polinomial e exponencial, precisaríamos usar a integração por partes. Essa técnica de integração é aplicada várias vezes. O resultado final é que:

EX3 = 6A3

Em seguida, combinamos isso com nossa equação anterior para a assimetria. Vemos que a assimetria é 6 - 4 = 2.

Implicações

É importante notar que o resultado é independente da distribuição exponencial específica com a qual começamos. A assimetria da distribuição exponencial não depende do valor do parâmetro A.

Além disso, vemos que o resultado é uma distorção positiva. Isso significa que a distribuição está inclinada para a direita. Isso não deve surpreender, pois pensamos na forma do gráfico da função densidade de probabilidade. Todas essas distribuições têm intercepto em y como 1 // teta e uma cauda que vai para a extrema direita do gráfico, correspondendo a valores altos da variável x.

Cálculo alternativo

Obviamente, também devemos mencionar que existe outra maneira de calcular a assimetria. Podemos utilizar a função geradora de momento para a distribuição exponencial. A primeira derivada da função geradora de momento avaliada em 0 nos dá EX. Da mesma forma, a terceira derivada da função geradora de momento, quando avaliada em 0, nos dá E (X3.


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