O que são inversos, contraditórios e inversos?

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Declarações condicionais aparecem em todos os lugares. Em matemática ou em outros lugares, não demora muito para encontrar algo da forma "Se P então Q. ”Declarações condicionais são realmente importantes. O que também é importante são declarações relacionadas à declaração condicional original, alterando a posição de P, Q e a negação de uma declaração. Começando com uma declaração original, terminamos com três novas declarações condicionais denominadas inversa, contrapositiva e inversa.

Negação

Antes de definirmos o inverso, contrapositivo e inverso de uma afirmação condicional, precisamos examinar o tópico da negação. Toda declaração na lógica é verdadeira ou falsa. A negação de uma afirmação envolve simplesmente a inserção da palavra "não" na parte apropriada da afirmação. A adição da palavra "não" é feita para alterar o status de verdade da afirmação.

Ajudará a olhar para um exemplo. A afirmação "O triângulo retângulo é equilateral" tem negação "O triângulo retângulo não é equilateral". A negação de "10 é um número par" é a afirmação "10 não é um número par". Obviamente, neste último exemplo, poderíamos usar a definição de um número ímpar e, em vez disso, dizer que "10 é um número ímpar". Observamos que a verdade de uma afirmação é o oposto da negação.

Examinaremos essa idéia em um cenário mais abstrato. Quando a declaração P é verdade, a afirmação “não P" é falso. Da mesma forma, se P é falso, sua negação “nãoP" é verdade. Negações são comumente denotadas com um til ~. Então, ao invés de escrever "não PPodemos escrever ~P.

Inverso, Contrapositivo e Inverso

Agora podemos definir o inverso, o contrapositivo e o inverso de uma afirmação condicional. Começamos com a declaração condicional “Se P então Q.”

O inverso da declaração condicional é “Se Q então P.”
O contrapositivo da afirmação condicional é “Se não Q Então não P.”
O inverso da declaração condicional é “Se não P Então não Q.”

Veremos como essas declarações funcionam com um exemplo. Suponha que comecemos com a declaração condicional "Se choveu ontem à noite, a calçada está molhada".

O inverso da declaração condicional é: "Se a calçada está molhada, choveu ontem à noite".
O contrapositivo da declaração condicional é "Se a calçada não estiver molhada, não choveu ontem à noite".
O inverso da afirmação condicional é "Se não choveu ontem à noite, a calçada não está molhada".

Equivalência Lógica

Podemos nos perguntar por que é importante formar essas outras declarações condicionais a partir da nossa inicial. Uma análise cuidadosa do exemplo acima revela algo. Suponha que a afirmação original “Se choveu ontem à noite, a calçada está molhada” é verdadeira. Quais das outras afirmações também devem ser verdadeiras?

O inverso "Se a calçada está molhada, choveu ontem à noite" não é necessariamente verdade. A calçada pode estar molhada por outros motivos.
O inverso "Se não choveu ontem à noite, então a calçada não está molhada" não é necessariamente verdadeira. Novamente, só porque não choveu não significa que a calçada não esteja molhada.
O contrapositivo "Se a calçada não está molhada, não choveu ontem à noite" é uma afirmação verdadeira.

O que vemos neste exemplo (e o que pode ser provado matematicamente) é que uma declaração condicional tem o mesmo valor de verdade que seu contrapositivo. Dizemos que essas duas afirmações são logicamente equivalentes. Também vemos que uma declaração condicional não é logicamente equivalente a sua inversa e inversa.

Como uma afirmação condicional e seu contrapositivo são logicamente equivalentes, podemos usar isso para nossa vantagem quando estamos provando teoremas matemáticos. Em vez de provar diretamente a verdade de uma afirmação condicional, podemos usar a estratégia de prova indireta de provar a verdade da contraposição dessa afirmação. As provas contrapositivas funcionam porque, se a contrapositiva é verdadeira, devido à equivalência lógica, a declaração condicional original também é verdadeira.

Acontece que, embora o inverso e o inverso não sejam logicamente equivalentes à declaração condicional original, eles são logicamente equivalentes um ao outro. Há uma explicação fácil para isso. Começamos com a declaração condicional “Se Q então P”. O contrapositivo desta afirmação é “Se não P Então não Q. ”Como o inverso é o contrapositivo do inverso, o inverso e o inverso são logicamente equivalentes.