Como provar as leis de De Morgan

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Em estatística matemática e probabilidade, é importante estar familiarizado com a teoria dos conjuntos. As operações elementares da teoria dos conjuntos têm conexões com certas regras no cálculo de probabilidades. As interações dessas operações básicas de união, interseção e complemento são explicadas por duas declarações conhecidas como Leis de De Morgan. Depois de declarar essas leis, veremos como prová-las.

Declaração das leis de De Morgan

As leis de De Morgan dizem respeito à interação da união, interseção e complemento. Lembre-se de que:

• A interseção dos conjuntos UMA e B consiste em todos os elementos comuns a ambos UMA e B. A interseção é indicada por UMA ∩ B.
• A união dos conjuntos UMA e B consiste em todos os elementos que em qualquer UMA ou B, incluindo os elementos nos dois conjuntos. A interseção é indicada por A U B.
• O complemento do conjunto UMA consiste em todos os elementos que não são elementos de UMA. Este complemento é indicado por A^C.

Agora que recordamos essas operações elementares, veremos a declaração das Leis de De Morgan. Para cada par de conjuntos UMA e B

1. (UMA ∩ B)^C = UMA^C você B^C.
2. (UMA você B)^C = UMA^C ∩ B^C.

Esboço da estratégia de prova

Antes de pular para a prova, vamos pensar em como provar as afirmações acima. Estamos tentando demonstrar que dois conjuntos são iguais um ao outro. A maneira como isso é feito em uma prova matemática é pelo procedimento de dupla inclusão. O esboço deste método de prova é:

1. Mostre que o conjunto do lado esquerdo do nosso sinal de igual é um subconjunto do conjunto do lado direito.
2. Repita o processo na direção oposta, mostrando que o conjunto à direita é um subconjunto do conjunto à esquerda.
3. Esses dois passos nos permitem dizer que os conjuntos são de fato iguais um ao outro. Eles consistem nos mesmos elementos.

Prova de uma das leis

Veremos como provar a primeira das leis de De Morgan acima. Começamos mostrando que (UMA ∩ B)^C é um subconjunto de UMA^C você B^C.

1. Primeiro suponha que x é um elemento de (UMA ∩ B)^C.
2. Isso significa que x não é um elemento de (UMA ∩ B).
3. Como a interseção é o conjunto de todos os elementos comuns a ambos UMA e B, a etapa anterior significa que x não pode ser um elemento de ambos UMA e B.
4. Isso significa que x é deve ser um elemento de pelo menos um dos conjuntos UMA^C ou B^C.
5. Por definição, isso significa que x é um elemento de UMA^C você B^C
6. Mostramos a inclusão de subconjunto desejada.

Nossa prova está agora no meio do caminho. Para completá-lo, mostramos a inclusão do subconjunto oposto. Mais especificamente, devemos mostrar UMA^C você B^C é um subconjunto de (UMA ∩ B)^C.

1. Começamos com um elemento x no conjunto UMA^C você B^C.
2. Isso significa que x é um elemento de UMA^C ou aquilo x é um elemento de B^C.
3. portanto x não é um elemento de pelo menos um dos conjuntos UMA ou B.
4. tão x não pode ser um elemento de ambos UMA e B. Isso significa que x é um elemento de (UMA ∩ B)^C.
5. Mostramos a inclusão de subconjunto desejada.

Prova da outra lei

A prova da outra afirmação é muito semelhante à prova que descrevemos acima. Tudo o que precisa ser feito é mostrar uma inclusão de conjuntos de conjuntos de ambos os lados do sinal de igual.