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Como provar as leis de De Morgan

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Em estatística matemática e probabilidade, é importante estar familiarizado com a teoria dos conjuntos. As operações elementares da teoria dos conjuntos têm conexões com certas regras no cálculo de probabilidades. As interações dessas operações básicas de união, interseção e complemento são explicadas por duas declarações conhecidas como Leis de De Morgan. Depois de declarar essas leis, veremos como prová-las.

Declaração das leis de De Morgan

As leis de De Morgan dizem respeito à interação da união, interseção e complemento. Lembre-se de que:

  • A interseção dos conjuntos UMA e B consiste em todos os elementos comuns a ambos UMA e B. A interseção é indicada por UMAB.
  • A união dos conjuntos UMA e B consiste em todos os elementos que em qualquer UMA ou B, incluindo os elementos nos dois conjuntos. A interseção é indicada por A U B.
  • O complemento do conjunto UMA consiste em todos os elementos que não são elementos de UMA. Este complemento é indicado por AC.

Agora que recordamos essas operações elementares, veremos a declaração das Leis de De Morgan. Para cada par de conjuntos UMA e B

  1. (UMA ∩ B)C = UMAC você BC.
  2. (UMA você B)C = UMAC ∩ BC.

Esboço da estratégia de prova

Antes de pular para a prova, vamos pensar em como provar as afirmações acima. Estamos tentando demonstrar que dois conjuntos são iguais um ao outro. A maneira como isso é feito em uma prova matemática é pelo procedimento de dupla inclusão. O esboço deste método de prova é:

  1. Mostre que o conjunto do lado esquerdo do nosso sinal de igual é um subconjunto do conjunto do lado direito.
  2. Repita o processo na direção oposta, mostrando que o conjunto à direita é um subconjunto do conjunto à esquerda.
  3. Esses dois passos nos permitem dizer que os conjuntos são de fato iguais um ao outro. Eles consistem nos mesmos elementos.

Prova de uma das leis

Veremos como provar a primeira das leis de De Morgan acima. Começamos mostrando que (UMA ∩ B)C é um subconjunto de UMAC você BC.

  1. Primeiro suponha que x é um elemento de (UMA ∩ B)C.
  2. Isso significa que x não é um elemento de (UMA ∩ B).
  3. Como a interseção é o conjunto de todos os elementos comuns a ambos UMA e B, a etapa anterior significa que x não pode ser um elemento de ambos UMA e B.
  4. Isso significa que x é deve ser um elemento de pelo menos um dos conjuntos UMAC ou BC.
  5. Por definição, isso significa que x é um elemento de UMAC você BC
  6. Mostramos a inclusão de subconjunto desejada.

Nossa prova está agora no meio do caminho. Para completá-lo, mostramos a inclusão do subconjunto oposto. Mais especificamente, devemos mostrar UMAC você BC é um subconjunto de (UMA ∩ B)C.

  1. Começamos com um elemento x no conjunto UMAC você BC.
  2. Isso significa que x é um elemento de UMAC ou aquilo x é um elemento de BC.
  3. portanto x não é um elemento de pelo menos um dos conjuntos UMA ou B.
  4. tão x não pode ser um elemento de ambos UMA e B. Isso significa que x é um elemento de (UMA ∩ B)C.
  5. Mostramos a inclusão de subconjunto desejada.

Prova da outra lei

A prova da outra afirmação é muito semelhante à prova que descrevemos acima. Tudo o que precisa ser feito é mostrar uma inclusão de conjuntos de conjuntos de ambos os lados do sinal de igual.


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